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奥数基数是什么意思

归档日期:09-11       文本归类:基数标准      文章编辑:爱尚语录

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  在数学上,基数(cardinal number)是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。

  根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。这样,每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作A(或cardA)。这样,当A 与B同属一个类时,A与B 就有相同的基数,即A=B。而当 A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。

  如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集。不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。

  基数可以比较大小。假设A,B的基数分别是a,β,即A=a,B=β,如果A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a。如果 a≤ β,但a≠β( 即A与B不对等 ),就称A的基数小于B的基数,记作aβ,或βa。在承认选择公理的情况下,可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合A和B,使得A不能与B的任何子集对等,B也不能与A的任何子集对等。

  无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。若 X 与 Y 皆非空而其中之一为无限集,则X + Y = XY = max{X, Y}.

  记 2 ^ X 是 X 的幂集之基数。由对角论证法可知 2 ^ X X ,是以并不存在最大的基数。事实上,基数的类是线、其他性质

  在非形式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于 0 的自然数(就是 0, 1, 2, ...)。计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。无限基数只出在高级数学和逻辑中。

  更加形式的说,非零数可以用于两个目的: 描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有精确的正好大小的集合,比如 3 描述 c 在序列 a,b,c,d,... 中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合 {a,b,c}。但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的 — 这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置示象(aspect)导致序数,而大小示象被这里描述的基数所普遍化。

  在基数形式定义背后的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。对于有限集合这是容易的;你可以简单的计数一个集合的成员的数目。为了比较更大集合的大小,必须借助更加微妙的概念。

  在数学上,基数(cardinalnumber)是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。

  根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。这样,每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作A(或cardA)。这样,当A与B同属一个类时,A与B就有相同的基数,即A=B。而当A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。

  1)基数可以进行运算。设A=a,B=β,定义a+β={(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}。另,a与β的积规定为AxB,A×B为A与B的笛卡儿积。

  2)我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。给定集合X与Y,定义X+Y={(x,0):x∈X}∪{(y,1):y∈Y},则基数和是X+Y=X+Y。若X与Y不相交,则X+Y=X∪Y。基数积是XY=X×Y,其中X×Y是X和Y的笛卡儿积。基数指数是X^Y=X^Y,其中X^Y是所有由Y到X的函数的集合。

  奥数教育,被部分专家认为是应试教育的必然产物,许多名牌大学也比较青睐有过奥数教育经历的学生。奥数教育引发的“全民奥数”似乎成为这个时代学生读书

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